Вывод уравнения продольных колебаний упругого стержня. Современные проблемы науки и образования

Рассмотрим однородный стержень длины l, т.е. тело цилиндрической или иной формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая, как все знают, гнется свободно.

В представленной мною работе я покажу приложение метода характеристик к изучению продольных колебаний стержня, причем ограничусь исследованием только таких колебаний, при которых поперечное сечение pq, перемещаясь вдоль оси стержня, остается плоскими и параллельными друг другу. Подобное допущение оправданно, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной.

Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания.

Направив ось x вдоль оси стержня и буду считать, что в состоянии покоя концы сечения стержня находятся в точках x=0 и x=l. Пусть х-абсцисса некоторого сечения стержня, когда последний находится в покое. Введу обозначение, через u(x,t) смещение этого сечения в момент времени t; тогда смещение сечения с абсциссой x+dx будет равно

Отсюда ясно,что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой х выражается производной

Теперь считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить натяжение Т. Применяя закон Гука, получаю:

Где Е- модуль упругости материала стержня, а S- площадь его поперечного сечения. Возьму элемент стержня, заключенный между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя соответственно равны х и х+dx. На этот элемент действуют силы натяжения, приложенные в этих сечениях, и направленные вдоль оси Ох. Результатирующая этих сил имеет величину

ES - ES?ES (2) (Теорема Лагранжа)

И направлена также вдоль. С другой стороны, ускорение элемента равно,вследствие чего мы можем написать равенство

Где - объемная плотность стержня. Положив

И сократив на,получим дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня

Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носит волновой характер, причем скорость распространения продольных волн определяется формулой (4).Если стержень действует еще внешняя сила расчитанная на единицу его объема, то вместо (3) получаем

Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.

Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (6) недостаточно для полного определения движения стержня. Нужно задать начальные условия, т.е. задать смещение сечений стержня и их скорости в начальный момент времени

где и F(x) - заданные функции в интервале(0,l).

Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах стержня. Например:

1) Стержень закреплен на обоих концах. В этом случае

u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8)

в любой момент времени t.

2) Один конец стержня закреплен, другой свободен, т.е.

u(0,t)=0, =0 (9)

в любой момент времени t. На свободном конце x=l натяжение T=ES равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно, =0

3) Оба конца стержня свободны.

В любой момент времени

Таким образом, задача о продольных колебаниях однородного ограниченного стержня сводится к решению уравнения (6), удовлетворяющему начальному условию (7) и одному из граничных условий (8), (9), (10) и т.д. продольный колебание дифференциальный волновой

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины l, когда его конец x=0 закреплен, а другой x=l свободен. Эта задача сводится к решению волнового уравнения.

При граничных условиях

И начальных условиях

F(x) (0?x?l) (3)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (1) в виде

u(x,t)=X(x) T(x) (4)

Подставляю уравнение (4) в (1) и получаю

откуда получаем два уравнения

Чтобы функция (4), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничными условиями (2), очевидно, нужно потребовать выполнение условий

X(x)=0, X(l)=0 (6)

Таким образом, я пришел к задаче о собственных значениях для уравнения (5) при граничных условиях (7). Интегрируя уравнения (5) получим

Из граничных условий (6) имеем

Cчитая нахожу =0, откуда

где k-целое число

Таким образом, нетривиальные решения задачи(4), (5) возможны лишь при значениях??:

Собственным значением соответствуют собственные функции

(x)= (k=1,2,…..)

Определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (k- отрицательным не будет)

При??= общее решение уравнение (5) имеет вид

Где - произвольные постоянные. В силу (3) получаю

Удовлетворяют (1) и граничным условиям (2) при любых. Составляю ряд.

для выполнения начальных условий (2) необходимо, чтобы

Предполагая, что ряды (8), (9) сходятся равномерно, можно определить коэффициенты умножив на обе части равенств на и проинтегрировав по xв пределах от х=0 до х=l. Учитывая,

Подставив найденные значения коэффициентов в ряд (7),я, возможно, получу решение задачи полученные из него двухкратным почленным дифференцированием по xи t, равномерно сходятся.

Рассмотрев решение (7), видно, что колебательное движение стержня является результатом сложения простых гармонических колебаний

Совершающихся с амплитудой и с частотами

Основной тон, получающийся при k=0, имеет период колебания

Так как амплитуда основного тона равно

То очевидно, что в закрепленном конце стержня х=0 образуется узел, а в свободном конце x=l-пучность.

Обращаясь к основным дифференциальным уравнениям колебаний, мы заметим, что когда умножим их на – = к 2 , они будут содержать члены, из которых одни имеют коэффициентом квадрат скорости и поперечных колебаний, другие – квадрат скорости продольных колебаний.

Первыечлены в случае колебаний продольных должны исчезнуть из уравнений, и мы получаем первую группу:

Так как поверхность p по нашему выбору есть поверхность волны, то в уравнениях § 7 мы должны удержать одно колебание R и приравнять нулю колебания /?! и R. 2 , совершающиеся в плоскости, касательной к волне. Вследствие этого находим, полагая // =1:

Так как А = 0, то уравнения (1) примут вид:

Умножая первое из уравнений (2) на //i // 2 , дифференцируя по p и обращая внимание на уравнение (4), находим:

что по уравнениям (2) В не зависит ни от р х, ни от [–]. Следовательно, означая через &F частную производную от функции F по одной из переменных ^, р. 2 , мы получаем из уравнения (7):

Подставляя в это выражение величины Н 1 Н 2 , найденные в п.п. 3, приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях, мы находим следующие условия, которым должна удовлетворять волновая Ф – я

Известно, что подобные соотношения имеют место только для сферы, круглого цилиндра и плоскости.

Отсюда имеем, что изотермические волновые поверхности могут распространять колебания продольные.

Итак, если поверхность сотрясения или начальная волна не принадлежат к поверхностям изотермических волн, то вблизи их колебания происходят смешанные , но на значительных расстояниях волна приближается к виду одной из изотермических волн, и в явлении обнаруживаются колебания продольные. СТОП!!!

Остается проинтегрировать приведенные дифференциальные уравнения для сферы, с использованием гармонических функций!!!

Эксперименты Теслы – гармонический осциллятор – недопустим!!!

Для сферы в координатах, уже нами употреблённых, мы имеем:

Дальнейшие преобразования несущественны и не приводятся, так как приводят к исходному уравнению , не имеющему физического смысла для солитоноподобных волн.

Найденные выводы одинаково применимы к явлениям света в телах однородных и притом в тех пределах приближения, которые имеют место в теории Буссинеска!?

Отсюда: «болевой момент» выявлен.

Н. Умов математический сборник, т. 5, 1870 г. .

Ещё одна «страшная» неопределённость

Рассуждая аналогично, можно было бы легко получить подобное же выражение и для магнитной энергии, а следовательно и для токов. Мы видим, что, даже настаивая на самой простой из формул, проблему локализации энергии по-прежнему не удаётся решить .

И то же самое имеем для потока энергии. Можно преобразовать движение текущей энергии произвольным образом, добавляя к вектору Пойнтинга другой вектор (u, v, w), обязанный удовлетворять лишь уравнению несжимаемых жидкостей

Являющаяся следствием общих уравнений, ничего к ним не добавляет.

Поэтому локализация энергии логически бесполезна (а иногда, вредна).

Но имеется аспект, в котором важно рассмотреть теорему Пойнтинга.

Основным фактом, из которого проистекает закон сохранения энергии, был и остаётся экспериментально найденный факт невозможности вечного движения , факт – независимо от наших идей, и может, быть отнесён к порциям энергии, которой должен обладать эфир в отсутствие материальных тел.

Закон сохранения энергии , в его классической форме W = Const , объясняет эту невозможность.

Теорема Пойнтинга , требующая возможности преобразования объёмного интеграла (отчасти произвольного) в поверхностный, выражает гораздо меньше. Она легко допускает создание вечного движения, не будучи способна показать его невозможность !

По сути, пока мы не введём гипотезу запаздывающих потенциалов , непрерывное выделение энергии сходящихся волн, приходящих из бесконечности, остаётся столь же вероятным, сколь и потеря энергии, наблюдаемая в действительности.

Если бы двигатель мог вечно забирать одну лишь энергию эфира, независимо от присутствия материальных тел, то могло бы существовать и вечное движение . Таким образом, становится ясно, что прежде чем принять формулу запаздывающих потенциалов, мы должны доказать, что ускоренная частица теряет энергию и в результате подвергается противодействию, пропорциональному производной ее ускорения .

Достаточно лишь изменить знак c , чтобы прийти к гипотезе сходящихся волн.

Тогда мы обнаружим , что знак вектора излучения также изменится, и новая гипотеза приведёт, скажем, в случае вибрирующей частицы, к постепенному увеличению амплитуды с течением времени, а в целом – к увеличению энергии системы?!

В Природе солитоны бывают:

– на поверхности жидкости первые солитоны, обнаруженные в природе, иногда считают таковыми волны цунами

– различные виды гидроудара

– звуковые ударные – преодоление «сверхзвука»

– ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме

– солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера

– предположительно, примером солитона является Гигантский гексагон на Сатурне

– можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы , .

Математическая модель, уравнение Кортевега-де Фриза.

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега-де Фриза:

u t + uu x + βu xxx = 0.

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон :

но и здесь осцилятором является гармоническая функция где r , s ,α, U – некоторые постоянные.

Теоремы неопределённости в гармоническом анализе

Гармонический осциллятор в квантовой механике – описывается уравнением Шредингера ,

(217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

(222.2)

где Е – полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии

(222.3)

Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора квантуется.

Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (сМ. § 220), минимальным значением энергии

E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Существование минимальной энергии – называется энергией нулевых колебаний – является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

В гармоническом анализе принцип неопределённости подразумевает, что нельзя точно получить значения функции и её отображения Фурье – а значит и сделать точный расчёт .

То есть моделирование, генерация и аналогия с соблюдением принципов подобия процессов и форм в Природе, с применением гармонического осцилятора – не возможна.

Разных видов математических солитонов известно пока мало и все они не подходят для описания объектов в трехмерном пространстве, тем более процессов происходящих в Природе.

Например , обычные солитоны , которые встречаются в уравнении Кортевега–де Фриза, локализованы всего лишь в одном измерении, если его «запустить» в трехмерном мире, то он будет иметь вид летящей вперед бесконечной плоской мембраны, мягко говоря абракадабра!!!

В природе, такие бесконечные мембраны не наблюдаются, а значит, исходное уравнение для описания трехмерных объектов не годится.

Вот здесь и заключается ошибочность введения гармонических функций – осцилляторов, связи в случае смешанных колебаний. Связной закон подобия , , но это уже другая история, которая выведет, теорию солитонов из систематической неопределённости , .

МЕХАНИКА

УДК 531.01/534.112

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАКЕТА СТЕРЖНЕЙ

А.М. Павлов, А.Н. Темнов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]; [email protected]

В вопросах динамики жидкостных ракет важную роль играет проблема устойчивости движения ракеты при возникновении продольных упругих колебаний. Появление таких колебаний может привести к установлению автоколебаний, которые в случае неустойчивости ракеты в продольном направлении могут привести к ее быстрому разрушению. Сформулирована задача о продольных колебаниях ракеты пакетной схемы, в качестве расчетной модели использован пакет стержней. Принято, что жидкость в баках ракеты "заморожена", т.е. собственные движения жидкости не учтены. Сформулирован закон баланса полной энергии для рассматриваемой задачи и приведена ее операторная постановка. Приведен численный пример, для которого определены частоты, построены и проанализированы формы собственных колебаний.

Ключевые слова: продольные колебания, частота и форма колебаний, пакет стержней, закон баланса полной энергии, самосопряженный оператор, спектр колебаний, POGO.

SYSTEM OF RODS LONGITUDINAL VIBRATIONS А.М. Pavlov, АЛ. Temnov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]; [email protected]

In questions of dynamics of liquid fuel rockets the problem of motion stability for this rocket has an important role with the appearance of longitudinal elastic vibrations. An occurrence of such kind vibrations can evoke self-vibrations which may cause rapid destruction of the rocket in case of rocket instability within longitudinal direction. The problem on longitudinal vibrations of the liquid fuel rocket based on the packet scheme has been formulated using package rods as computational model. It is assumed that the liquid in the rocket tanks is "frozen", i.e. proper motions of the liquid are not included. For this problem energy conservation principle was formulated and its operator staging is given. There is a numerical example, for which the frequencies have been determined, forms of Eigen vibration were built and analyzed.

Keywords: longitudinal vibrations, eigen modes and frequencies, rods model, energy conservation principle, selfadjoint operator, vibration spectrum, POGO.

Введение. В настоящее время в России и за рубежом для вывода на требуемую орбиту полезного груза часто используют ракеты-носители (РН) пакетной компоновки с одинаковыми боковыми блоками, равномерно распределенными вокруг центрального блока.

Исследования колебаний пакетных конструкций наталкиваются на определенные трудности, связанные с динамическим воздействием боковых и центрального блоков . В случае симметрии компоновки РН сложное, пространственное взаимодействие блоков пакетной конструкции можно разделить на конечное число типов колебаний, одним из которых являются продольные колебания центрального и боковых блоков . Математическая модель продольных колебаний подобной конструкции в виде пакета тонкостенных стержней подробно рассмотрена в работе . Рис. 1. Схема централь- В настоящей статье приведены теоретиче-ного стержня ские и вычислительные результаты продоль-

ных колебаний пакета стержней, дополняющие исследование, выполненное А.А. Пожалостиным .

Постановка задачи. Рассмотрим другие продольные колебания пакета стержней, состоящего из центрального стержня длиной l0 и N боковых стержней одинаковой длины j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, скрепленных в точке А (xA = l) (рис. 1) с центральными пружинными элементами жесткостью k.

Введем неподвижную систему отсчета ОХ и предположим, что жесткость стержней EFj (x), распределенная масса mj (x) и возмущение q (x,t) являются ограниченными функциями координаты x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Пусть при продольных колебаниях в сечениях стержней с координатой x возникают смещения Uj (x, t), определяемые по уравнениям

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

граничными условиями отсутствия нормальных сил на концах стержней

3 =0, х = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

условиями равенства нормальных сил, возникающих в стержнях,

EF-3 = F x = l

силам упругости пружинных элементов

FпPJ = к (щ (ха) - щ (¡,)); (4)

ЕУодХ (ха - 0) - EFодХ (ха + 0) = , х = ха;

условием равенства перемещений в точке ха центрального стержня

Щ (ха-о) = Щ (ха+о) и начальными условиями

Щ у (х, 0) - Щ (х) ; , _

щ (х, 0) = Щ (х),

где щ (х, 0) = "д^1 (х, 0).

Закон баланса полной энергии. Умножим уравнение (2) на щ (х,£), проинтегрируем по длине каждого стержня и сложим результаты, используя граничные условия (3) и условие согласования (4). В результате получим

({ 1 ^ [ (диЛ 2

тз (х) "БТ" (х+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ ч 2 .. N „ i.

1 ^ Г „„ , f дп3\ , 1 ^ Гj

1 N /* i дпЛ 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Уо Ы (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (х, £) их у (х,£) (х, (6)

где 8 (х - ¡у) - дельта-функция Дирака. В уравнении (6) первое слагаемое в фигурных скобках представляет собой кинетическую энергию Т (¿) системы, второе - потенциальную энергию Пр (£), обусловленную деформацией стержней, а третье - потенциальную энергию Пк (£) пружинных элементов, которая при наличии упругих деформаций стержней может быть записана в виде

Пк (*) = 2 £ / Су (¡у) 8 (х - ¡1) Е^ (¡у) (ддит (¡1)) 2 (х, Су = Еу.

Уравнение (6) показывает, что изменение полной энергии в единицу времени рассматриваемой механической системы равно мощности

внешнего воздействия. При отсутствии внешнего возмущения q (x,t) получаем закон сохранения полной энергии:

T (t) + Пр (t) + Пк (t) = T (0) + Пр (0) + Пк (0).

Операторная постановка. Закон баланса энергии показывает, что для любого момента времени t функции Uj (x, t) можно рассматривать как элементы гильбертова пространства L2j(; m3 (x)), определенные на длине ¡i скалярным произведением

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

и соответствующей нормой.

Введем гильбертово пространство H, равное ортогональной сумме L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, вектор-функцию U = (uo, Ui,..., uN)т и оператор A, действующий в пространстве H согласно соотношению

AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj (x) dx \ j dx "

операторы, определенные на

множестве Б (А33) С Н функций, удовлетворяющих условиям (3) и (4).

Исходная задача (1)-(5) вместе с начальными условиями запишется в виде

Аи = f (*), и (0) = и0, 17(0) = и1, (7)

где f (*) = (до (*) ,51 (*),..., Ям (¿))т.

Лемма. 1. Если выполнены первые два условия (1), то оператор А в эволюционной задаче (7) - неограниченный, самосопряженный, положительно определенный в пространстве Н оператор

(Аи,К)н = (и,АК)н, (Аи, и)я > с2 (и, и)я.

2. Оператор А порождает энергетическое пространство НА с нормой, равной удвоенному значению потенциальной энергии колебаний пакета стержней

3 \ ^ I з)2 = 2П > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) г?- (x) dx+ o

O (xa) -

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Из приведенных результатов следует, что энергетическая норма оператора A выражается формулой (8).

Разрешимость эволюционной задачи. Сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть выполнены условия

U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H),

тогда задача (7) имеет единственное слабое решение U (t) на отрезке , определяемое по формуле

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 отсутствии внешнего возмущения f (£) выполняется закон сохранения энергии

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Собственные колебания пакета стержней. Примем, что на стержневую систему не действует поле внешних сил: f (t) = 0. В этом случае движения стержней будем называть свободными. Свободные движения стержней, зависящие от времени t по закону exp (iwt), назовем собственными колебаниями. Приняв в уравнении (7) U (ж, t) = U (ж) eiWÍ, получим спектральную задачу для оператора A:

AU - AEU = 0, Л = ш2. (9)

Свойства оператора A позволяют сформулировать теорему о спектре и свойствах собственных функций .

Теорема 2. Спектральная задача (9) о собственных колебаниях пакета стержней имеет дискретный положительный спектр

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

и систему собственных функций {Uk (ж)}^=0, полную и ортогональную в пространствах H и HA, при этом выполнены следующие формулы ортогональности:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/Ц^) d*+

K («feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Исследование спектральной задачи в случае однородного пакета стержней. Представив функцию перемещений м- (ж,£) в виде м- (ж,£) = м- (ж) , после разделения переменных получим спектральные задачи для каждого стержня:

^Ои + Лм = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

которые запишем в матричной форме

4 £ + Ли = 0,

А = -,-,-,...,-

\ т0 т1 т2 т«

и = (и0, и1, и2,..., и«)т.

Решение и анализ полученных результатов. Обозначим функции перемещения для центрального стержня на участке как и01 и на участке как и02 (ж). При этом для функции и02 начало координат перенесем в точку с координатой /. Для каждого стержня представим решение уравнения (10) в виде

Для нахождения неизвестных констант в (11) воспользуемся сформулированными выше граничными условиями. Из однородных граничных условий можно определить некоторые константы, а именно:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

В итоге остается найти N + 3 констант: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Для этого решим N + 3 уравнений относительно N + 3 неизвестных.

Запишем полученную систему в матричной форме: (A) {C} = {0} . Здесь {C} = {C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1}т - вектор неизвестных; (A) - характеристическая матрица,

cos (Л1) EF0 Л sin (Л1) +

Л sin (Л (Zo - 1)) Л cos (Л (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

а = к соэ ^ ^А-Л^ ; в = -к со8((.40-01Л)1/2 ^ ;

7 = (А4"-1 л) 1/2 ап ((А"1л) 1/2 + к сов ((А"1л) 1/2 ;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; А-- : 3 = 0.

Для нахождения нетривиального решения в качестве переменной примем константу С01 € М. Имеем два варианта: С01 = 0; С01 = 0.

Пусть С01 = 0, тогда С03 = С04 = 0. В этом случае нетривиальное решение может быть получено, если 7 = 0 из (12) при выполнении дополнительного условия

£ с-1 = 0, (13)

которое может быть получено из третьего уравнения системы (12). В итоге получаем простое частотное уравнение

ЕР (А"1 Л)1/2 вт ((А"1^1/2 П +

зз у \ V зз

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

совпадающее с частотным уравнением для стержня упруго закрепленного на одном конце, который можно рассматривать как первую парциальную систему.

В этом случае все возможные комбинации движений боковых стержней, удовлетворяющих условию (13), можно условно разделить на группы, соответствующие различным комбинациям фаз (в рассматриваемом случае фаза определяется знаком С.д). Если принять боковые стержни идентичными, то имеем два варианта:

1) Сд = 0, тогда число таких комбинаций п для различных N можно вычислить по формуле п = N 2, где - функция деления без остатка;

2) какая-либо (или какие-либо) из констант С- равны 0, тогда число возможных комбинаций возрастает и может быть определено по формуле

£ [(N - m) div 2].

Пусть Coi = 0, тогда Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-в/т), где в и y - комплексы, входящие в (12). Из системы (12) также имеем: C03 = C01 cos (Л/); C04=C03 tg (Л (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (Л (/0 - /)), т.е. все константы выражены через C01. Частотное уравнение принимает вид

EFo U-o1 Л tg A-1 Л) " (lo - l)) -

K2 cos | í a!-,1 Л

В качестве примера рассмотрим систему с четырьмя боковыми стержнями. Кроме описанного выше способа для этого примера можно записать частотное уравнение для всей системы, вычислив определитель матрицы А и приравняв его нулю. Приведем его вид

Y4 (Л sin (Л (/o - /)) cos (Л/) EFoЛ+

Л cos (Л (/o - /)) (EFoЛ sin (Л/) + 4в)) -

4авт3Л cos (Л(/0 - /)) = 0.

Графики трансцендентных частотных уравнений для рассмотренных выше случаев представлены на рис. 2. В качестве исходных данных были приняты следующие: EF = 2 109 Н; EF0 = 2,2 109 Н; k = 7 107 Н/м; m = 5900 кг/м; mo = 6000 кг/м; / = 23; /о = 33 м. Значения первых трех частот колебаний рассматриваемой схемы приведены ниже:

n.....................................

и, рад/с..............................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Рис. 2. Графики трансцендентных частотных уравнений для Coi = 0 (i) и Coi = 0 (2)

Приведем формы колебаний, соответствующие полученным решениям (в общем случае формы колебаний не нормированы). Формы колебаний, соответствующие первой, второй, третьей, четвертой, 13 и 14 частотам, приведены на рис. 3. При первой частоте колебаний боковые стержни колеблются с одинаковой формой, но попарно в противофазе

Рис.3. Формы колебаний боковых (1) и центральных (2) стержней, соответствующие первой V = 3,20 Гц (а), второй V = 5,02 Гц (б), третьей V = 10,11 Гц (в), четвертой V = 13,60 Гц (г), 13-й V = 45,90 Гц (д) и 14-й V = 50,88 Гц (е) частотам

(рис. 3, а), при второй - центральный стержень совершает колебания, а боковые колеблются по одинаковой форме в фазе (рис. 3, б). Следует отметить, что первая и вторая частоты колебаний рассматриваемой стержневой системы соответствуют колебаниям системы, состоящей из твердых тел.

При колебании системы с третьей собственной частотой первый раз появляются узлы (рис.3,в). Третья и последующие частоты (рис.3,г) соответствуют уже упругим колебаниям системы. С возрастанием частоты колебаний, связанной с уменьшением влияния упругих элементов, частоты и формы колебаний стремятся к парциальным (рис.3,д, е).

Кривые функций, точки пересечения которых с осью абсцисс являются решениями трансцендентных уравнений, представлены на рис. 4. Согласно рисунку, собственные частоты колебаний системы расположены вблизи парциальных частот. Как было отмечено выше, при увеличении частоты сближение собственных частот с парциальными усиливается. В результате частоты, при которых колеблется вся система, условно разделяются на две группы: близкие к парциальным частотам бокового стержня и частоты, близкие к парциальным частотам центрального стержня.

Выводы. Рассмотрена задача о продольных колебаниях пакета стержней. Описаны свойства поставленной краевой задачи и спектра ее собственных значений. Предложено решение спектральной задачи для произвольного числа однородных боковых стержней. Для численного примера найдены значения первых частот колебаний и построены соответствующие им формы. Также были выявлены некоторые характерные свойства построенных форм колебаний.

Рис. 4. Кривые функций, точки пересечения которых с осью абсцисс являются решениями трансцендентных уравнений, для СоХ = 0 (1), Сох = 0 (2) совпадают с первой парциальной системой (боковой стержень, закрепленный на упругом элементе в точке х = I) и второй парциальной системы (5) (центральный стержень, закрепленный на четырех упругих элементах в точке А)

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520 с.

2. Баллистические ракеты и ракеты-носители / О.М. Алифанов, А.Н. Андреев, В.Н. Гущин и др. М.: Дрофа, 2004. 511 с.

3. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. 396 с.

4. Parameter study on POGO stability of liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol. 48. Is. 3. P. 537-541.

5. Балакирев Ю.Г. Методы анализа продольных колебаний ракет-носителей с жидкостным двигателем // Космонавтика и ракетостроение. 1995. № 5. С. 50-58.

6. Балакирев Ю.Г. Особенности математической модели жидкостной ракеты пакетной компоновки как объекта управлении // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. 2008. С. 43-55.

7. Докучаев Л.В. Совершенствование методов исследований динамики ракеты-носителя пакетной конструкции с учетом их симметрии // Космонавтика и ракетостроение. 2005. № 2. С. 112-121.

8. Пожалостин А.А. Разработка приближенных аналитических методов расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек с жидкостью: дис. ... д-ра техн. наук. М., 2005. 220 с.

9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967. 464 с.

10. Копачевский И.Д. Операторные методы математической физики. Симферополь: ООО "Форма", 2008. 140 с.

Kolesnikov K.S. Dinamika raket . Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli . Moscow, Drofa Publ., 2003. 511 p.

Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov . Moscow, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parameter study on POGO stability of liquid fuel rocket. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48, iss. 3, pp. 537-541.

Balakirev Yu.G. Methods of analysis of longitudinal vibrations of launch vehicles with liquid propellant engine. Kosm. i raketostr. , 1995, no. 5, pp. 50-58 (in Russ.).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii . Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (cited pp. 4355).

Dokuchaev L.V. Improvement of methods for studying the dynamics of clustered launch vehicle considering their symmetry. Kosm. i raketostr. , 2005, no. 2, pp. 112-121 (in Russ.).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh . Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki . Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p.

Статья поступила в редакцию 28.04.2014

Павлов Арсений Михайлович - студент кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области ракетно-космической технологии.

МГТУ им. Н.Э. Баумаш, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Pavlov A.M. - student of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specialist in the field of rocket-and-space technology. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Темнов Александр Николаевич - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области механики жидкости и газа и ракетно-космической технологии. МГТУ им. Н.Э. Баумаш, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Temnov A.N. - Cand. Sci. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 publications in the field of fluid and gas mechanics and rocket-and-space technology.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Рассмотрим однородный стержень длины т. е. тело цилиндрической или какой-либо иной формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая, как мы знаем, гнется свободно.

В настоящей главе мы займемся приложением метода характеристик к изучению продольных колебаний стержня, причем ограничимся исследованием только таких колебаний, при которых поперечные сечения перемещаясь вдоль оси стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу (рис. 6). Подобное допущение оправдано, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной.

Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания. Направим ось вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня находятся в точках Пусть абсцисса некоторого сечения стержня, когда последний находится в покое. Обозначим через смещение этого сечения в момент времени тогда смещение сечения с абсциссой будет равно

Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой х выражается производной

Считая теперь, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить в этом сечении натяжение Действительно» применяя закон Гука, найдем, что

где модуль упругости материала стержня, площадь его поперечного сечения. Возьмем элемент стержня, заключенный

между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя соответственно равны На этот элемент действуют силы натяжения приложенные в этих сечениях, и направленные вдоль оси Результирующая этих сил имеет величину

и направлена также вдоль . С другой стороны, ускорение элемента равно вследствие чего мы можем написать равенство

где объемная плотность стержня. Положив

и сократив на получим дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня

Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носят волновой характер, причем скорость а распространения продольных волн определяется формулой (4).

Если на стержень действует еще внешняя сила рассчитанная на единицу его объема, то вместо (3) получим

Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня. Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (6) недостаточно для полного определения движения стержня. Нужно задать начальные условия, т. е. задать смещения сечений стержня и их скорости в начальный момент времени

где и заданные функции в интервале (

Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах стержня. Так, например.

Рассмотрим стержень длиной l , который в положении равновесия находится вдоль оси Ох. Его продольные колебания описываются функцией Q(x,t), представляющей собой в каждый момент времени t продольное смещение точки стержня, координата которой в положении равновесия была равна х. Предполагается, что натяжение в стержне подчиняется закону Гука. Тогда уравнение, описывающее продольное колебание стержня имеет вид:

где а – волновая скорость, м/с;

f(x,t) – удельная сила, м/с 2 .

Волновая скорость стержня определяется согласно выражению:

, (2.16)

где k – коэффициент упругости, Н;

ρ – линейная плотность (масса, приходящаяся на единицу длины стержня), кг/м.

Коэффициент упругости k может быть найден следующим образом:

, (2.17)

Е – модуль Юнга (напряжение, возникающее в образце при увеличении (уменьшении) его длины в два раза при прочих неизменных условиях), Н/м 2 .

Для однородного стержня k=const, ρ=const. В противном случае k(х), ρ(х).

Удельная сила, в свою очередь, может быть представлена в виде:

, (2.18)

где g(x,t) – линейная плотность продольной внешней силы (сила, действующая на единицу длины), Н/м.

Начальные условия задаются в виде:

– профиля начальных смещений:

– профиля начальной скорости:

. (2.20)

Граничные условия могут быть заданы для следующих случаев:

1) Первая краевая задача (граничные условия 1 рода):

где μ 1 (t), μ 2 (t) – заданные функции времени, описывающие закон

движения конца стержня.

Для жестко закрепленного конца μ(t)=0.

2) Вторая краевая задача (граничные условия 2 рода):

; (2.23)

, (2.24)

где T 1 , T 2 – сила натяжения, приложенная к концу стержня, Н.

В случае свободного конца, натяжение стержня вблизи него отсутствует (g(t)=0).

3) Третья краевая задача (граничные условия 3 рода):

. (2.25)

Данные условия формулируются в случае упругого закрепления стержня, при котором конец стержня может перемещаться, но возникает упругая сила, стремящаяся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Сформулировать краевую задачу о продольных колебаниях однородного цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила F(t)=A·sin(ωt), направление которой совпадает с осью стержня.

Функция Q(x,t), описывающая продольные колебания стержня определяется уравнением:

.

Начальные условия нулевые:

;

.

Граничные условия задаются в виде:

;

,

где S – площадь поперечного сечения стержня, м 2 ;

E – модуль Юнга материала стержня, Па (см. Приложение).

Общие замечания.

1) Если рассматривается колебательный процесс струны (стержня), у которой концы находятся достаточно далеко и в течение небольшого интервала времени влияние концов еще не успевает проявиться, то можно считать струну бесконечной. При этом рассматривается задача, в которой -∞

2) Если рассматриваемый участок струны (стержня) находится вблизи от одного его конца и далеко от другого, то рассматривается задача о полубесконечной струне, когда 0≤x<+∞ и граничные условия формулируются только на одном ее конце.