Но в силу того что. В силу того, что
Пусть задана некоторая ось и . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2.2), получим, что , т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
Определение. Проекции , , вектора на оси , и прямоугольной системы координат называются координатами вектора в этой системе координат.
Если для вектора , , , то символически это записывается в виде
Теорема 2. Для любых двух точек и координаты вектора определяются по формулам
Доказательство. Проведем через точки и плоскости, перпендикулярные оси , и обозначим точки пересечения оси и построенных плоскостей и .
Точки и имеют на оси координаты и . По определению , но , т. е. . Аналогично доказываются и остальные соотношения. Теорема доказана.
Рассмотрим свойства проекций векторов на ось.
Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.
Доказательство. Пусть , тогда, приложив вектор к концу вектора , т. е. к точке , можем считать, что . Обозначим через , , проекции точек , и С на ось . По определению проекции вектора на ось имеем: , , , (последнее равенство следует из правила сложения величин вещественных чисел).
Таким образом, . Теорема доказана.
Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.
Доказательство. Пусть - угол между осью и вектором , а - угол между осью и вектором . Если , то векторы и направлены одинаково и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление и .
Согласно (2.2) при имеем: . Если же , то . При обе части равенства (2.6) обращаются в нуль. Таким образом, при любых вещественных значениях . Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает следствие.
Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то при любых действительных числах и вектор имеет координаты
Пусть - углы наклона вектора к осям , и соответственно.
Определение. Три числа , и называются направляющими косинусами вектора .
Из определения координат вектора следует, что если , то
Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, которые отсекают на координатных осях величины , и , то
Из формул (2.8) и (2.9) находятся выражения для направляющих косинусов вектора через его координаты:
Возводя полученные равенства в квадрат и складывая, получим, что , т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Так как вектор однозначно определяется заданием трех его координат, из полученных формул (2.8) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.
П р и м е р 22. Даны два вектора и . Найти проекции на координатные оси векторов и .
Решение. Проекциями вектора на координатные оси являются его координаты. По формуле (2.7) получим: , .
2.5. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
где - угол между векторами и .
Если хотя бы один из векторов или - нулевой, то угол между векторами не определен, и скалярное произведение полагается равным нулю.
Проекцию вектора на ось, определяемую вектором , обозначим . По определению проекции вектора на ось имеем: . Тогда скалярное произведение двух ненулевых векторов и определяется формулой
Учитывая, что в определении скалярного произведения векторы и взаимозаменяемые, его можно представить в виде
Соотношения (2.17) и (2.18) позволяют сформулировать другое определение скалярного произведения.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
Физический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если точка приложения силы, задаваемой постоянным вектором , перемещается вдоль вектора , то работа этой силы определяется равенством , где - угол между векторами и , т. е. работа равна скалярному произведению векторов и .
Теорема 8. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, - угол между ними, тогда , и в силу формулы (2.16) .
Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы и ортогональны. Если хотя бы один из векторов равен нулевому вектору, то он имеет неопределенное направление, и можно считать, что векторы ортогональны. Если оба вектора и ненулевые, то , , поэтому из (2.16) следует, что , т, е. векторы и ортогональны. Теорема доказана.
Если два вектора привести к общему началу, то в качестве угла между этими векторами можно взять любой из углов или .
Действительно, сумма углов и равна , поэтому . В определение скалярного произведения входит сомножителем только косинус угла между векторами. Из двух углов и между векторами один всегда не более . За угол между векторами принимается наименьший из углов и , т. е. .
Если скалярное произведение двух ненулевых неколлинеарных векторов и положительно (отрицательно), то эти два вектора составляют острый (тупой) угол.
Свойства скалярного произведения:
Доказательство. Это свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения: . Свойство доказано.
Доказательство. Для доказательства этого свойства воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось: . Свойство доказано.
Доказательство. Воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось. Получим: . Свойство доказано.
4. , если , и , если .
Доказательство. Из определения скалярного произведения с использованием соотношения (2.16) следует, что . Если , то и . Если же , то , поэтому . Свойство доказано.
Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не учитывая порядок векторных сомножителей и сочетая числовые множители.
Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов , , выполняются соотношения,
Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой - вторым, а какой - третьим.
Например, - упорядоченная тройка векторов, в которой первым вектором является вектор , вторым - вектор , третьим - вектор .
В силу
В силу
СИ́ЛА, -ы, ж.
Толковый словарь Ожегова . С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992 .
Смотреть что такое "В силу" в других словарях:
Силур … Русское словесное ударение
силу - давать силу обладание, каузация дать силу обладание, каузация знать силу знание, понимание использовать силу использование набирать силу обладание, начало показать силу демонстрация потерять силу обладание, прерывание почувствовать… … Глагольной сочетаемости непредметных имён
А, м. геол. То же, что силурийский период … Малый академический словарь
силуєт - єта, ч. Рс. Те саме, що сильветка … Словник лемківскої говірки
силӯн - сухой … Нанайско-русский словарь
Затраты на рабочую силу - (Labor costs) Определение затрат на рабочую силу, состав затрат Информация об определении затрат на рабочую силу, состав затрат, формы оплаты труда Содержание Содержание Определение Состав () на рабочую силу Международная стандартная… … Энциклопедия инвестора
В. в законную силу решений гражданских судов это тот момент, когда решения эти приобретают характер непререкаемости, или, как выражаются юристы, формальной истины, исключающей возможность нового судебного спора по тому предмету, о котором… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Время вступления в силу административно-правовых норм - При решении вопроса о времени вступления в силу административно правовых норм принципиальное значение имеет вид источника административного права правового акта, содержащего эти нормы. Согласно статье 15 Конституции Российской Федерации все… …
Порядок вступления в силу правового акта управления - При решении вопроса о времени вступления в силу правовых актов управления (административных актов), нормативных актов принципиальное значение имеет положение статьи 15 Конституции Российской Федерации, согласно которой все законы, а также… … Административное право. Словарь-справочник
в силу того, что - союз Синтаксические конструкции, начинающиеся с союза «в силу того, что», выделяются с двух сторон знаками препинания. При этом первый знак препинания обычно ставится между частями союза (перед словом «что»). «Мы действуем в силу того, что мы… … Словарь-справочник по пунктуации
Вступление в силу подзаконных нормативных правовых актов - предусмотренный законодательством специальный порядок придания законной юридической силы принятым (изданным) нормативным правовым актам. Для актов различной юридической силы существуют специальные правила введения их в действие. Для актов… … Элементарные начала общей теории права
Книги
- Производство по пересмотру вступивших в законную силу судебных актов по вновь открывшимся обстоят. , Петручак Руслан Константинович. Монография посвящена анализу института пересмотра вступивших в законную силу судебных актов по вновь открывшимся или новым обстоятельствам в гражданском и арбитражном процессе после его…
- Здоровье через силу стихий , Меньшикова Ксения Евгеньевна. Здоровье - это сила земли, сила природы, и каждый рождённый имеет право на эту силу лишь на основании факта своего рождения здесь - все живые в равной степени. Это очень важно понять:…
Пусть задана некоторая ось и . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2.2), получим, что , т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
Определение. Проекции , , вектора на оси , и прямоугольной системы координат называются координатами вектора в этой системе координат.
Если для вектора , , , то символически это записывается в виде
Теорема 2. Для любых двух точек и координаты вектора определяются по формулам
Доказательство. Проведем через точки и плоскости, перпендикулярные оси , и обозначим точки пересечения оси и построенных плоскостей и .
Точки и имеют на оси координаты и . По определению , но , т. е. . Аналогично доказываются и остальные соотношения. Теорема доказана.
Рассмотрим свойства проекций векторов на ось.
Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.
Доказательство. Пусть , тогда, приложив вектор к концу вектора , т. е. к точке , можем считать, что . Обозначим через , , проекции точек , и С на ось . По определению проекции вектора на ось имеем: , , , (последнее равенство следует из правила сложения величин вещественных чисел).
Таким образом, . Теорема доказана.
Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.
Доказательство. Пусть - угол между осью и вектором , а - угол между осью и вектором . Если , то векторы и направлены одинаково и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление и .
Согласно (2.2) при имеем: . Если же , то . При обе части равенства (2.6) обращаются в нуль. Таким образом, при любых вещественных значениях . Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает следствие.
Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то при любых действительных числах и вектор имеет координаты
Пусть - углы наклона вектора к осям , и соответственно.
Определение. Три числа , и называются направляющими косинусами вектора .
Из определения координат вектора следует, что если , то
Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, которые отсекают на координатных осях величины , и , то
Из формул (2.8) и (2.9) находятся выражения для направляющих косинусов вектора через его координаты:
Возводя полученные равенства в квадрат и складывая, получим, что , т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Так как вектор однозначно определяется заданием трех его координат, из полученных формул (2.8) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.
П р и м е р 22. Даны два вектора и . Найти проекции на координатные оси векторов и .
Решение. Проекциями вектора на координатные оси являются его координаты. По формуле (2.7) получим: , .
2.4. Разложение вектора по базису
Пусть , , - единичные векторы осей координат, т. е. , и каждый из них одинаково направлен с осями , и соответственно. Векторы , , называются базисными векторами. Они взаимно перпендикулярны и задаются координатами следующим образом: , , .
Теорема 5. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису , , , т. е. представлен в виде
где - действительные числа.
Доказательство . Рассмотрим вектор .
Обозначим , , . Тогда , т. е. . Векторы и коллинеарны, поэтому существует такое число , что . Аналогично можно показать, что и . Таким образом, .
Для доказательства единственности установим, что , , , где - координаты вектора . Если вектор имеет такое же направление, как и вектор , то и . Если же векторы и противоположно направлены, то . С другой стороны, . Из равенства векторов следует, что . Равенства и доказываются аналогично. Теорема доказана.
Определение. Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что существует тривиальная линейная комбинация этих векторов, т. е.
Теорема 6. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора , и линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа , и , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что . Для определенности будем считать, что . Тогда , или . Если векторы , и приложены к общему началу , то вектор равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и как на смежных сторонах, следовательно, векторы , и лежат в одной плоскости. Это равносильно тому, что и векторы , и лежат в одной плоскости, так как после приведения к общему началу векторы и (соответственно, и ) лежат на одной прямой.
Достаточность. Пусть векторы , и - компланарны. Если какие-либо два вектора из них являются коллинеарными, то они будут линейно зависимыми, следовательно, и все три вектора линейно зависимы.
Пусть в тройке векторов , , ни одна пара векторов не является коллинеарной. Тогда в этой тройке отсутствуют и нулевые векторы. Перенесем три компланарных вектора , , на одну плоскость и приведем их к общему началу . Обозначим буквами и концы этих векторов. Через точку проведем прямые, параллельные векторам и .
Точки пересечения построенных прямых с прямыми, на которых лежат векторы и , обозначим соответственно и . Эти точки существуют, так как векторы и не коллинеарны. Из параллелограмма следует, что . Вектор коллинеарен вектору , поэтому существует вещественное число такое, что . Аналогично доказывается, что . Таким образом, вектор является линейной комбинацией векторов и и, следовательно, . Это равносильно тому, что векторы , и линейно зависимы. Теорема доказана.
Рассмотрим три компланарных вектора , , . Составим матрицу , столбцами которой являются координаты этих векторов. Столбцы матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием компланарности векторов , и является равенство нулю определителя матрицы, столбцами которой являются координаты этих векторов, т. е.
Теорема 7. Если , , - произвольные некомпланарные векторы, то любой вектор может быть представлен единственным образом в виде
где - некоторые числа, т. е. любой вектор может быть разложен по трем некомпланарным векторам.
Доказательство. Пусть векторы , , , заданы своими координатами, т. е. , , , . Тогда . По правилу сложения векторов и умножения вектора на число имеем: . Для выполнения условия (2.14) система уравнений
относительно неизвестных , и должна иметь единственное решение. Определитель системы , так как векторы , , некомпланарные. Следовательно, по теореме Крамера система (2.15) имеет единственное решение, и вектор может быть единственным образом представлен в виде . Теорема доказана.
."Поступай так, чтобы максима твоей воли могла в то же время иметь силу принципа всеобщего законодательства". Это - категорический императив И. Канта. Кем до Канта была сформулирована подобная мысль? Как она называется и каково ее содержание?
КАНТ Иммануил (17241804) родоначальник немецкой классической философии. Свои политико-правовые воззрения Кант изложил в трактатах: "Идеи всеобщей истории с космополитической точки зрения", "К вечному миру", "Метафизические начала учения о праве".
Краеугольный принцип социально-политических воззрений Канта состоит в том, что каждое лицо обладает совершенным достоинством, абсолютной ценностью. Человек - субъект нравственного сознания, в корне отличный от окружающей природы, - в своем поведении должен руководствоваться велениями нравственного закона. Закон этот априорен, не подвержен влиянию никаких внешних обстоятельств и потому безусловен. Кант называет его "категорическим императивом". Он гласит: "Поступай так, чтобы максима твоего поведения могла быть вместе с тем и принципом всеобщего законодательства". Или иными словами: поступай так, чтобы ты относился к человечеству и в своем лице, и в лице любого другого как к цели и никогда только как к средству.
Совокупность условий, ограничивающих произвол одного по отношению к другим посредством объективного общего закона свободы, Кант называет правом. Всякое право должно выступать как право принудительное. Сообщить праву столь нужное ему свойство способно лишь государство - исконный и первичный носитель принуждения. По Канту, оказывается, что государственность вызывают к жизни и ее бытие оправдывают в конце концов требования категорического императива.
Выдвижение и защита Кантом тезиса о том, что благо и назначение государства - в совершенном праве, в максимальном соответствии устройства и режима государства принципам права, дали основание считать Канта одним из родоначальников концепции правового государства.
Заимствованную у Ш.Л. Монтескье идею разделения властей в государстве Кант не стал толковать как идею равновесия властей. По его мнению, всякое государство имеет три власти: законодательную (принадлежащую только суверенной "коллективной воле народа"), исполнительную (сосредоточенную у законного правителя и подчиненную законодательной. верховной власти), судебную (назначаемую властью исполнительной). Субординация и согласие этих трех властей способны предотвратить деспотизм и гарантировать благоденствие государства. Спиркин А.Г. Философия: Учебник. - М.: Гардарика, 1998-355с.
Возраст - это всего лишь цифра. Она не определяет ум человека и его взгляды на жизнь. Всё зависит не от прожитых лет, а от пережитых обстоятельств в жизни.
Когда Бог хочет сделать вам подарок, он заворачивает его в проблему. И чем больше подарок, тем в большую проблему он его заворачивает.
Беда разума в том, что он склонен воспринимать события, которые не укладываются в его сценарий, как препятствия.
До чего же странное существо человек. Вся его жизнь – сплошное чудо, но как раз в чудеса-то он и не верит.
Если чуда не происходит, это всего лишь означает, что вы сами не пустили его в свою жизнь.
Память согревает человека изнутри, и в то же время рвет его на части.
Добро и зло имеют много граней, в том числе - общих.
Делайте только то, что Вы любите больше всего. Это обязательно приведет Вас к успеху!
Каждое утро я смотрел на себя в зеркало и спрашивал: «Если бы сегодня был последний день моей жизни, хотел бы я заниматься тем, чем я занимаюсь сегодня? И если ответ в течение многих дней подряд был «нет» – я знал, что мне нужно что-то менять.
Я не стучусь в закрытую дверь! В ответ, Я молча закрываю свою… Я не навязываюсь! Мир огромен - и там уж точно есть тот, кто счастлив получая именно мое общение, мой взгляд и мою улыбку… Я не ревную! Если человек твой - то он твой, а если его тянет еще куда-то, то ничто его не удержит, да и тем более он не стоит ни моих нервов, ни внимания.
Дайте человеку необходимое и он захочет удобств.
Обеспечьте его удобствами - он будет стремиться к роскоши.
Осыпьте его роскошью - он начнет вздыхать по изысканному.
Позвольте ему получать изысканное и он возжаждет безумств.
Одарите его всем, что он пожелает - он будет жаловаться, что его обманули и что он получил совсем не то, что хотел.
